散らばり・変動係数(CV)・標準化

データの散らばり

◆レンジ(範囲)　・・・　R と表す

※はずれ値の影響を大きく受ける。

◆四分位範囲　・・・　IQR(Inter Quartile Range)と表す

Q3 － Q1

※はずれ値の影響をほとんど受けない。

◆四分位偏差　

IQR／2

◆偏差　・・・　̅観測値から平均値を引いた差

　　　※はずれ値の影響を強く受けるため、解釈に注意が必要。

◆分散　・・・　̅偏差の二乗の総和を度数の合計で割る

　　　※n-1で割る定義もある（不偏分散）

エクセル関数　　=VAR(データ)　　n-1で割る定義
　　　　　　　　　　=VARP(データ)　　nで割る定義

◆標準偏差　・・・　̅分散の平方根

分散は2乗するので単位が異なり解釈が難しい。

そこで平方根を取った。

　　　※n-1で割る定義もある（不偏分散ベース）

エクセル関数　=STDEV(データ)　　n-1で割る定義（標本から母集団を推定）

　　　　　　　=STDEV.P(データ)　　nで割る定義（データが母集団すべての場合）

分位数と5数要約

最大値
第3四分位（Q3）
中央値　（Q2）
第1四分位（Q1）
最小値

※EDAで用いるはずれ値の基準　＝　IQRの1.5倍（または3倍）

　四分位範囲の外側からIQRの1.5倍以上離れたものははずれ値とする。

変動係数で散らばりを考える

次のような場合、どちらが散らばりが大きいか、単純に比較することは難しいが、変動係数を求めることで比較しやすくなる。

	平均編集	標準偏差
管理職	2000万円	450万円
アルバイト	100万円	30万円

◆変動係数(CV:Coefficient of Variation)　・・・　標準偏差を平均値で割る　　　

　　　　※ ％で表すことが多い

管理職　　　　450／2000　＝　22.5%

アルバイト　　30 ／ 100　＝　30%　　　　→アルバイトの方が散らばりが大きい

変動係数は平均で割っているので無単位であり、身長と体重など単位の異なる測定値間の変動をも比較できる。

観測値の標準化

◆Z値　・・・　偏差を標準偏差で割る　　　　　　　

※ Z値の平均値は0、標準偏差は1となる。

◆偏差値　・・・　Z値を10倍して50足す

※ 偏差値の平均値は50、標準偏差は10となる。

中心極限定理

母平均(μ)、分散(σ^2)の母集団から大きさnの標本を抽出するとき、

標本の大きさが十分に大きければ（30以上あれば）、母集団がどのような分布でも

標本平均＝母平均(μ)　で

標本分散(S^2) ≒ σ^2/n　の正規分布になる。　　